“常見幾何體外接球半徑求法”的3種“高效”途徑

福建省泉州第一中學   數學組  胡積謀13599222132

 

摘要：常見幾何體外接球的半徑的求法是高考中的一個高頻考點，學生從對幾何體的觀察、探究、到總結形成一般性的解法，有助于學生認識幾何體外接球半徑求法的本質，同時也讓學生學會“轉化”,在空間轉化中提高邏輯思維能力.

 

關鍵詞   外接球      半徑    補形法    “湯勺”形     “圖釘”形

幾何體外接球的相關考查歷來是高考的一大熱點與難點，而求解球的體積與面積本質上是球半徑的求解問題。在高考中,在關于幾何體外接球的半徑求解時，如何尋找一種高效的途徑，以利考生總結歸納，并高效作答，是我們所應注重的教學內容之一。本文從歷年高考有關于外接球半徑考查中，總結了“常見幾何體外接球半徑求法”的3種“高效”途徑，與大家一起共勉。

途徑1：補形法

長方體的外接球知識點是教科書中學生接觸幾何體外接球概念的最初的幾何體范例，通過學習我們知道外接球的球心與長方體的中心重合，長方體的體對角線過球心，長方體的體對角線的長度就是球的直徑，如圖，

 

 

 

在這個基礎上,若是一些具有長方體局部特征的幾何體，如以下三種幾何體，

 

 

 

棱柱   三棱錐    三棱錐

 

 

 

 

 

就可以通過補形法將幾何體補體還原為長方體，

利用上述長方體與外接球的內在關系，

快速求得外接球的半徑：

途徑2：“湯勺”形幾何體外接球半徑的求法

注：“湯勺”形幾何體指有一條側棱（或母線）垂直底面的幾何體

具有“湯勺”形特征的幾何體（棱錐、棱柱及圓柱）存在外接球時，

如下列幾何體，

 

                                      

三棱錐                 四棱錐                          

 

棱柱         

 

 

由特征圖形中的線段關系得到共同的特征式：，進而求得球的半徑.

 

途徑3：“圖釘”形幾何體外接球半徑的求法

注：“圖釘”形幾何體指椎體頂點在底面的射影為底面

外接圓的圓心的幾何體.

 

 

 

具有“圖釘”形特征的幾何體（棱錐或圓錐）存在外接球時，

如下列幾何體正三棱錐與正四棱錐，

 

                                                        

 

 

 

 

 

 

由特征圖形中的線段關系得到共同的特征式：，進而求得球的半徑.

總結：當然球內接幾何體的形狀有很多類型，方法與途徑并沒有固定化的途徑，但在高考中常見幾何體外接球的半徑求法，一般以使用上面三種途徑求外接球半徑的方法最為常見，在歷次考察中出現頻率最多，掌握了以上三種途徑一般就可以高效的求解幾何體外接球的半徑，

(1)   補形法根據幾何體具有局部的長方體特征，可以很快的尋找到補形的思路，利用長方體的題對角線與球直徑的關系，迅速得到答案；

(2)   在求“湯勺”形與“圖釘”形幾何體的外接球半徑的過程中，我們只需要根據幾何體特征去確定這類型幾何體中的與，結合圖形特征所對應的代數方程關系列式求外接球的半徑；

(3)   底面多邊形的外接圓的半徑，一般的求法根據其底面多邊形的特征常見的有以下幾個類型：

 

       

 

參考文獻：薛勝菊  《揭開多面體外接球的面紗探析多面體外接球半徑求法》 《數理化題研究》2014年（9期）